Une référence incontournable et inépuisable
Ce livre très riche, premier d'une trilogie en anglais consacrée au même thème, explore les dissections, autrement dit les découpages et recompositions de figures géométriques. Tout l'art est de n'utiliser qu'un minimum de morceaux, ce qui conduit souvent à d'ingénieuses constructions.
On trouve ici toutes les astuces de l'histoire des mathématiques, toute l'ingéniosité des créateurs de puzzles géométriques d'aujourd'hui, avec une grande variété de dessins, une foule d'anecdotes et une biographie succincte de tous les acteurs de ce théâtre de formes. On y rencontre, en vingt-trois chapitres, plus un pour les solutions, toutes les sortes de dissections, les classiques comme les dissections « en escalier » ou à bords arrondis. Figurent aussi un certain nombre de méthodes pour établir une « bonne » dissection, dont beaucoup utilisent des pavages du plan. É.B.
La bible sur les découpages articulés
Le livre Dissections: Plane and Fancy semblait être un aboutissement, une référence pour les vingt ans à venir. Peu après sa publication, l'auteur s'est pourtant intéressé aux découpages articulés, dans lesquels toutes les pièces du puzzle peuvent être attachées les unes aux autres par des charnières qu'il suffit de faire jouer dans un sens ou dans l'autre pour obtenir les deux dispositions du jeu. Il pensait alors en faire un chapitre supplémentaire lors d'une réédition ultérieure de son livre. Mais plus il a creusé la question, plus les découvertes se sont faites nombreuses.
Frederickson a commencé par reprendre tous les découpages connus et par se poser la question : est-il possible de relier toutes les pièces par des charnières de façon que le puzzle fonctionne ? Contre toute attente, un nombre important de découpages connus étaient « articulables », c'est-à-dire que l'on pouvait effectivement les rendre articulés sans modification. Pour d'autres, il fallait adapter le découpage, au prix souvent d'une augmentation du nombre de pièces minimales… ce qui ouvre tout un champ de nouveaux records à battre ! Bien qu'aucun théorème n'ait été démontré à ce sujet (qui semble difficile), Frederickson conjecture qu'étant donné deux polygones de même aire, il existe toujours un découpage articulé permettant de passer de l'un à l'autre.
Il réunit finalement tant de découpages articulés qu'il fait paraître en 2002 un ouvrage qui leur est entièrement consacré. Il explore également des découpages de solides articulés (une bonne vision spatiale est recommandée) ainsi que les pavages du plan articulés. M.C.
S'affranchir de la conservation des aires
Dans ses deux livres précédents, Greg Frederickson explorait des découpages dans le plan qui conservent systématiquement les aires (la figure de départ et la figure finale ont exactement la même aire, les déplacements s'effectuent sans chevauchement, que les pièces soient indépendantes ou qu'elles soient liées par des charnières). Les charnières peuvent permettre aux pièces de pivoter soit en restant dans le plan, soit en sortant du plan pour y revenir, le recto et le verso de la pièce s'échangeant alors.
Dans ce nouvel ouvrage, qui clôt une trilogie devenue célèbre mais qu'il est difficile de se procurer, l'auteur s'affranchit de cette contrainte et se rapproche des techniques de l'origami. Le plan devient multifeuille, en ce sens que l'on peut avoir plusieurs couches sans épaisseur, comme dans les activités de pliage de papier. Les pièces des découpages sont articulées entre elles par des « charnières à piano », permettant à une pièce de se replier sur une autre (un CD contenant des vidéos de dissections par l'auteur est inclus). M.C.
Piano-Hinged Dissections: Time to Fold. Greg Frederickson, A.K. Peters–CRC Press, 306 pages, 2006, 49 dollars.
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