L'environnement géométrique dans lequel on peut définir une droite se résume la plupart du temps à un espace affine (ensemble de points) dans lequel se trouve cette droite. L'espace affine le plus usuel, celui dans lequel nous évoluons, est de dimension 3. Le plan affine (de dimension 2) est néanmoins souvent utilisé, en particulier pour établir des cartes ou dans l'enseignement pour faciliter l'apprentissage de la géométrie. Le travail dans des hyperespaces de dimension supérieure à 3 est également utile dans certains contextes, dont le plus connu est l'espace-temps de la physique de la relativité générale, en dimension 4.

Une fois choisi cet environnement dans lequel évolue la droite (D) qui nous intéresse, il reste à représenter les points de cet espace affine, et à définir les conditions que doivent remplir les points pour appartenir à (D).

La représentation cartésienne

Les points d'un espace affine sont, le plus souvent, définis par leurs coordonnées dans un repère (dit cartésien) fait d'un point (l'origine, notée le plus souvent O) et d'un certain nombre de vecteurs linéairement indépendants V₁, V₂, V₃… qui engendrent l'espace vectoriel associé (on dit qu'ils en forment une base). Le nombre des vecteurs de cette base est la dimension de l'espace.

Ainsi, les points d'un plan affine (espace affine de dimension 2) sont représentés dans un tel repère par deux coordonnées, l'abscisse et l'ordonnée, notées le plus souvent x et y respectivement.

Un point M sera dit de coordonnées (x, y) si le vecteur  \( \overrightarrow{OM}\) s'écrit xV₁ + yV₂.

Mais comment exprimer que le point M appartient à une droite (D) donnée ?

La droite (D) sera le plus souvent définie par un point A, de coordonnées (a, b), et une direction, matérialisée par un vecteur directeur V = uV₁ + vV₂. Un point M appartiendra à (D) s'il existe un paramètre réel t tel que  \( \) \( \overrightarrow{AM}=tV.\) Cela s'exprime par les deux équations de ce que l'on appelle une représentation paramétrique :

\( \left. \begin{array}{l} x=a+tu\\ y=b+tv \end{array} \right.\)

On en tire l'équation cartésienne de la droite en éliminant le paramètre t entre ces deux équations : u (y – b) = v (x – a). Dans le cas d'une droite de l'espace (de dimension 3), la représentation paramétrique est de même nature, à la différence près que l'on ajoute une coordonnée, la cote z.

Un point M sera dit de coordonnées (x, y, z) si le vecteur  \( \overrightarrow{OM}\) s'écrit xV₁ + yV₂ + zV₃. La droite (D) est définie par un point A, de coordonnées (a, b, c), et la direction du vecteur V = uV₁ + vV₂ + wV₃. 

Un point M appartiendra encore à (D) s'il existe un paramètre réel t tel que  \( \overrightarrow{AM} = tV.\) Cela s'exprime par les trois équations de la représentation paramétrique :

\( \left. \begin{array}{l} x=a+tu\\ y=b+tv\\ z=c+tw \end{array} \right.\)

On voit cette fois que l'élimination du paramètre t se traduira par deux équations, par exemple :

\( \left. \begin{array}{l} u(y-b)=v(x-a)\\ v(z-c)=w(y-b) \end{array} \right.\)

Chacune de ces deux équations correspond à un plan, la droite (D) étant l'intersection de ces deux plans.

La représentation barycentrique

Une droite d'un espace affine peut aussi être définie à l'aide de deux de ses points A et B dès lors qu'ils ne sont pas confondus. Cette définition rejoint la précédente (en posant \( V=\overrightarrow{AB}\) ) et donne lieu à la représentation paramétrique comme à la représentation cartésienne vues plus haut (voir un exemple dans la figure ci-contre).

On peut aussi travailler dans un autre registre : les coordonnées barycentriques. La droite (AB) est en effet l'ensemble des « barycentres » des points A et B. On dit en effet que M est barycentre de A et B affectés des coefficients a et b (de somme non nulle) si \( a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\) . On en déduit que

  \( \overrightarrow{AM}=\frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\)

  ce qui justifie bien la situation de M sur la droite (AB).

On peut supposer la somme a + b égale à 1, dans la mesure où c'est le même point qui est défini si les coefficients barycentriques sont proportionnels. Enfin, le segment [AB] est l'ensemble des barycentres de A et B affectés de coefficients positifs.

En généralisant cette approche dans un espace affine de dimension n, on peut définir un repère barycentrique de n + 1 points P₀, P₁, P₂… P_n dont aucun n'est barycentre des n autres. Tout point de cet espace peut s'écrire comme barycentre de ces points affectés de coefficients de somme 1 (ce sont ses coordonnées barycentriques). C'est en particulier le cas des deux points A et B qui définissent la droite (D). Alors, un point de la droite (AB), étant barycentre de A et B, aura pour coordonnées barycentriques une combinaison linéaire de celles de A et B, et ce quelle que soit la dimension de l'espace dans lequel on se place.

Sur un « plan » concret, prenons l'exemple d'un plan, affecté d'un repère barycentrique (trois points non alignés) P₀, P₁, P₂. Appelons a₀, a₁, a₂ et b₀, b₁, b₂ les coordonnées barycentriques (de somme 1) respectifs de A et B. Si x, y, z sont les coordonnées barycentriques d'un point M de la droite (AB), c'est qu'il existe deux nombres u et v tels que ua₀ + vb₀ = x, ua₁ + vb₁ = y, ua₂ + vb₂ = z. Cela implique l'existence d'une solution (u, v) à un système de trois équations à deux inconnues, ce qui se traduit par la condition suivante, issue de l'annulation d'un déterminant : (a₁b₂ – a₂b₁) x + (a₂b₀ – a₀b₂) y + (a₀b₁ – a₁b₀) z = 0.

L'équation d'une droite en coordonnées barycentriques, de la forme ax + by + cz = 0, est donc une équation linéaire homogène en x, y et z. Ce n'est pas sans évoquer une autre approche, celle de la géométrie projective (voir notre troisième dossier).

Si, au lieu de se placer dans le plan, on était dans l'espace de dimension 3, une quatrième équation s'ajouterait au système, et la condition pour que M appartienne à la droite se traduirait cette fois par non plus une, mais deux équations homogènes.