Pour représenter des nombres entiers qu’il appelle p-adiques, Kurt Hensel introduit en 1897, pour une base p, des séries formelles  

\( \sum_{i-0}^{+\infty}a_ip^i~~ \hbox{avec}~~ 0\leq a_i\leq p-1.\)

Bien que non convergentes, et donc n’ayant pas de sens en analy­se classique, on peut effectuer entre elles toutes sortes d’opérations. Regardons ce qu’il en est dans le cas p = 10, c’est-à-dire pour les nombres décadiques.

Chimère décadique

Il a fallu attendre plus de mille ans après les pythagoriciens, grands maîtres du nombre, et l’« invention » du zéro, pour l’établissement définitif d’une numération positionnelle en Inde. Avec cette notation, 2019 est l’écriture simplifiée du nombre
2 × 10³ + 0 × 10² + 1 × 10¹ + 9 × 10⁰  en base 10. Le rang de chaque chiffre indique la puissance de la base qui lui est associée (10 pour notre système décimal), d’où l’importance du zéro pour occuper la place des puissances manquantes. Les Babyloniens ordonnaient bien les puissances (de 60) par ordre croissant mais, sans signe distinctif pour « le rien », une unité dans leur base 60 pouvait tout aussi bien désigner la valeur 1, que 60 ou 3 600.

En base 10, les nombres décimaux admettent un nombre fini de chiffres après la virgule, et sont donc tous des rationnels. Par exemple, 

\( 1,732-\frac{1732}{1000}=\frac{433}{250}.\)

Pour une infinité de chiffres après la virgule, on dispose de tous les réels, dont des rationnels, tel 1/3, et des irrationnels, comme  \( \sqrt{3}.\)

C’est là que l’imagination prend le pouvoir. Amusons-nous à considérer formellement, c’est-à-dire sans se préoccuper de la réalité mathématique de l’objet créé, un nombre réel inversé, ou brenom, qui possède un nombre de chiffres potentiellement infini vers la gauche, et fini vers la droite (voir « Récrémaths, Les brenoms »). Curieusement, leur manipulation a le même degré de cohérence que la théorie des ensembles. Néanmoins, les résultats dépendent de la base p choisie, et il y a donc autant d’ensembles de nombres p-adiques que de bases p possibles.

En base 10, les nombres décadiques sont, en quelque sorte, les symétriques des nombres réels par rapport à la frontière du tout et de la partie que constitue la virgule. L’addition ne pose pas de problème particulier, sinon que le calcul va être « un peu plus long vers la fin » ! Par exemple, on a :

\( \begin{align*} & ...12\,345 \\ + \,\,& ...60\,527 \\ \hline & ...72\,872, \end{align*}\)

où les points suggèrent une infinité de chiffres vers la gauche. Il en est de même pour la multiplication, les n derniers termes de ces deux opérations s’obtenant à partir des n derniers termes des deux nombres de l’opération.

Mais quel est l’élément neutre de cette addition, et par suite, le symétrique d’un brenom ?Pour une telle addition, l’élément neutre est naturellement constitué d’une infinité de zéros. Il faut le considérer comme un terme de la forme 10 ⁿ, ou un multiple, avec l’exposant n « tendant vers l’infini ».

À l’école primaire, on apprend à soustraire rapidement tout nombre d’une puissance de dix. Il suffit de mettre sous chaque chiffre du nombre à soustraire son complément à 9, sauf pour le dernier, auquel on associe son complément à 10.

Ainsi,

\( \begin{align*} 1&00\,000 \\ - \,\,\,& 75\,893 \\ \hline & 24\,107 \end{align*}\)

On peut donc, en opérant de cette façon « primaire », obtenir simplement l’opposé de tout nombre décadique. De cette manière, …75 893 = – …24 107. La notion de « nombre positif » est donc absente du monde décadique (et p-adique), dans lequel on ne peut appliquer de relation d’ordre (tout comme dans l’ensemble des nombres complexes).

La belle décadique

Notons   \( \Big(\frac{a}{b}\Big)_{10}\)   une fraction décadique, et toute suite infinie de terme périodique p par  \( \overline{p}\)  , de sorte que 

\( ...ppp=\overline{p}~\hbox{et}~ 0,~~ ppp...=0,~\overline{p}.\)

On a  

\( \overline{9}=...999=-1,\)

ce qui se vérifie simplement en ajoutant 1 aux deux termes. Joli, non ?

On peut aussi obtenir ce résultat en écrivant, pour un nombre de n chiffres 9 consécutifs :

\( 9\big(10^{n-1}+10^{n-2}+\ldots +10+1\big)=9\times\frac{10^n-1}{10-1}.\)

En faisant tendre n vers l’infini, on obtient le résultat cherché puisque    \( \lim_{n\to\infty}10^n=0\)    dans le monde décadique (voir FOCUS « Une topologie étonnante »). Joli, assurément.

Une autre façon de procéder tient au fait, non suffisamment explicité, que « l’infini n’est pas à une unité près », ce qui est fondamental pour écrire   \( 0,\overline{9}=1\) . En posant   \( x=0,\overline{9}\)  , on a   \( 10x=9,\overline{9}=9+x\)  , d’où le résultat. Joli, décidément !

De même, dans le monde décadique, si  \( x=\overline{9}\)  , on a x – 9 = …99 990 = 10x, et donc x = – 1. En général,   \( \overline{1}=\Big(\frac{1}{1-p}\Big)_p\)   en base p. Ces remarques permettent un calcul rapide de la multiplication par  \( \overline{9}.\)   Par exemple,  \( \overline{123}\times\overline{9}=-\overline{123}=\overline{876}877.\)

Le champ des corps décadiques

La soustraction ne pose alors pas de problème, car soustraire b de a revient à additionner l’opposé de b à a. On a ainsi :  \( \overline{123}-\overline{12}=\overline{123}+\overline{87}88=\overline{001911}.\)   On constate au passage que l’addition, ou la soustraction, de deux nombres périodiques donne un résultat, ou son opposé, de période le plus petit commun multiple des périodes.

Muni de ces trois opérations, l’addition, la soustraction et la multiplication, l’ensemble des nombres décadiques possède une structure algébrique identique à celle des nombres entiers   \( \mathbb{Z}\)  , celle d’un anneau, noté   \( \mathbb{Z}_{10}.\)

Complétons l’arsenal des opérations arithmétiques avec la division. Là, les ennuis commencent, car toutes les divisions ne sont pas possibles !

Pour une fraction comme (1/3)₁₀, on peut procéder selon le même principe qu’une division classique  (voir FOCUS «Une topologie étonnante »). Mais pour cet exemple il suffit de remarquer que   \( \overline{9}=-1\)  , et donc que  \( \overline{3}=-(1/3)_{10}\)  . D’après ce que l’on sait sur le calcul des opposés, on a alors …6 667 = (1/3)₁₀. Il aurait aussi été possible d’écrire (1/3)₁₀ = 1 + 2 × (– 1/3)₁₀ pour obtenir le même résultat. La similitude de cette valeur avec les décimales de 2/3 n’est pas fortuite ! Si un brenom a une suite de p de longueur q, alors   \( \overline{p}=-p/(10^q-1)\)   et, dans les réels,   \( 0,\overline{p}=p/(10^q-1)\)  .

Ce passage entre nombres réels et décadiques a déjà été illustré entre \( 1=0,\overline{9}~\,\hbox{et}~\,\overline{9}=-1\)  . À partir du développement décimal de   \( \frac{1}{7}=0,\overline{142857}\)  , construisons l’entier décadique  \( M=\overline{142857}\)  . Sa période étant de longueur 6, on a   \( M=-\Big(\frac{142857}{10^6-1}\Big)_{10}=-\Big(\frac{1}{7}\Big)_{10}\)  , puisque 10⁶ — 1 = 3³ × 7 × 11 × 13 × 37, et 3³ × 11 × 13 × 37 = 142857. On en déduit, par changement de signe,
   \( \Big(\frac{1}{7}\Big)_{10}=-M=\overline{857142}\,857143\)  .

De manière générale, pour que l’inverse d’un entier n premier ait un développement périodique p de longueur q, il faut que n divise 10^q – 1, et alors   \( p=\frac{10^q-1}{n}\)  .

Si, de plus, q est le plus petit entier tel que >n divise 10^q – 1, alors q divise n – 1, d’après le petit théorème de Fermat (cette dénomination est d’ailleurs due à Hensel). Puisque   \( \frac{10^6-1}{13}=76923,\)  
\( 1/13=0,\overline{076923},\)
\( (1/13)_{10}=-\overline{076923}=\overline{923076}923077,\)
et 6 divise 13 – 1.

Pour la division, tout va bien si le chiffre 1 apparait au rang des unités dans la table de multiplication du dénominateur. Ce n’est évidemment pas le cas pour les diviseurs de la base (c’est-à-dire 2 et 5 pour les nombres décadiques). La division ne peut donc être effectuée que si le chiffre des unités du diviseur se termine par les chiffres premiers avec la base, ici 1, 3, 7 ou 9.

On peut, par contre, diviser par la base elle-même, ce qui décale la virgule vers la gauche. On généralise alors l’écriture formelle des nombres en considérant des puissances négatives    \( \sum_{i=n}^{+\infty}a_ip^i, ~~\hbox{avec}~~ m\in \mathbb{Z}.\)  
Ce nouvel ensemble de nombres p-adiques est noté \( \mathbb{Q}_p\)  car ses éléments sont des fractions. Alors  \( \mathbb{Q}_p\)  est un corps si p est premier, car tous ses éléments ont alors un inverse.

Un banc d’essai arithmétique

Le théorème fondamental de l’algèbre stipule que le nombre de racines complexes d’un polynôme est égal à son degré. Il en est tout autrement dans \( \mathbb{Q}_{10}\)  .

Dans \( \mathbb{Q}\)  , l’équation x² – x = 0 admet les deux solutions, 0 et 1, mais dans  \( \mathbb{Q}_{10}\)  , deux autres solutions u et v existent, telles que u +  v = 1 et uv = 0.

Les seuls candidats, en dehors de 0 et 1, pour le chiffre des unités sont 5 et 6 puisque 5² = 25 et 6² = 36. Pour 5, on trouve ensuite 25² = 625, 625² = 390 625 et donc (0625)² = 390625. On démontre que ce développement peut être continué indéfiniment, pour obtenir une solution : u = …12 890 625. La seconde solution v = 1 – u = 87109376 s’en déduit. Ces nombres décadiques automorphes sont tels que u² = u, v² = v, et donc uⁿ = u, vⁿ = v, quelle que soit la puissance n. De plus, la nullité de leur produit confirme la non intégrité de \( \mathbb{Q}_{10}\)  .

Toute cette arithmétique se généralise aux nombres p-adiques, où la base p remplace la base décimale. Et souvent, le calcul est plus facile dans \( \mathbb{Q}_p\)   qu’avec les réels, puisque  \( \mathbb{Q}_p\)  est un corps quand p est premier ; ceci permet de tester la résolution d’équations, condition nécessaire pour une solution réelle. Le monde p-adique est ainsi le banc d’essai arithmétique du monde réel.