Les Aztèques, un système additif de base 20

Vers 1200, les Aztèques ont utilisé, un système de numération additif, comme celui des chiffres romains, mais fondé sur la base 20 et non la base 10. Dans un tel système, les symboles s’additionnent pour définir le nombre représenté. Les Aztèques disposaient de quatre symboles, un pour l’unité, un autre pour les vingtaines, les suivants désignaient 400 (20² = 20 × 20) et 8 000 (20³ = 20 × 20 × 20).

Symboles aztèques pour les unités, les vingtaines, les groupes de 400 et de 8 000.

Ainsi, pour noter le nombre 1 637, les Aztèques écrivaient quatre groupes de 400, un groupe de 20 et dix-sept unités (car 1 637 = 4 × 400 + 20 + 17). Les unités étaient groupées par cinq pour en rendre la lecture facile. Ce système permet d’écrire les nombres jusqu’à 19 × 20³ + 19 × 20² + 19 × 20 + 19, ce qui fait 20⁴ – 1, soit encore 159 999. Pour aller plus loin, il aurait fallu ajouter un symbole pour désigner 160 000.

Le nombre 1 637 en écriture aztèque.

Les Mayas, un système positionnel de base 20

Symboles des nombres de 0 à 19 dans la numération des Mayas.

Les Mayas utilisaient la même base 20 que les Aztèques, mais ils introduisirent le zéro de position, c’est-à-dire un signe qui signifie l’absence, ce qui permet une écriture positionnelle. Dans ce cadre, il leur suffisait de trois symboles pour décrire tous les nombres ! En effet, les chiffres de 1 à 19 étaient écrits additivement en base 5 et ne demandaient l’utilisation que de deux symboles : le point pour l’unité et la barre pour le groupe de 5. Dans ce système, 1 637 s’écrit en colonne, de haut en bas.

1 637 dans le système maya de base 20. 

On lit de haut en bas, d’abord les quatre-centaines, 

puis les vingtaines et enfin les unités.

Pour écrire 50 002, 

on le décompose en 6 × 8 000 + 5 × 400 + 0 × 20 + 2 ; 

 on obtient la figure ci-contre.

Les Incas, un système additif et / ou positionnel de base 10 ?

Les Incas n’utilisaient pas l’écriture mais des nœuds sur des cordelettes pour noter les nombres. L’ensemble porte le nom de quipu, ce qui signifie à la fois « nœud » et « compte » en quechua. Comme peu de quipus nous sont parvenus, et ce sans traduction d’époque, leur interprétation reste du domaine de l’hypothèse vraisemblable.

Il existait trois sortes de nœuds plus ou moins épais, ce qui fait penser à un système additif, chacun représentant respectivement les unités, dizaines et centaines. Ceci permet de compter jusqu’à 999, ce qui est insuffisant. Les Incas ajoutaient alors d’autres cordelettes pour passer aux milliers, le système devenant positionnel de base 1 000.