Au détour des complexes

Un exemple classique de ce genre d'aventure est la démonstration du résultat suivant : si deux entiers sont sommes de quatre carrés, il en est de même de leur produit.

L'usage des complexes au cours de cette démonstration va nous faciliter considérablement la tâche ! Supposons en effet que les entiers A et B s'écrivent A = a² + b² + c² + d² et B = p² + q² + r² + s². Il suffira d'introduire les nombres complexes z = a + ib, t = c + id, u = p + iq et v = r + is pour pouvoir écrire

\( A \times B = (| z |^2 + | t |^2) (| u |^2 + | v |^2) = (z\bar{z}+t\bar{t})(u\bar{u}+v\bar{v})\)

qui n'est rien d'autre que  \( \left | z\overline{u}+t\overline{v} \right |^2+\left |zv-tu\right |^2\) qui est bien une somme de quatre carrés, chacun des deux termes étant somme de deux carrés. Ce résultat bien pratique intervient en particulier dans la démonstration du théorème des quatre carrés de Lagrange : il permet de démontrer que tout entier est somme de quatre carrés en n'utilisant que les nombres premiers.

Un autre exemple, moins classique, de détour avantageux par les complexes est celui que citent nos collègues du Québec, Alain Desparois et Paul Guertin (Bulletin de l'Association mathématique du Québec, mars 2017) lorsqu'ils s'intéressent aux fonctions n-similaires, c'est-à-dire les fonctions qui sont égales à leur dérivée n^ème, sans l'être à aucune de leurs n – 1 premières dérivées. La fonction exponentielle est évidemment 1-similaire, x  \( \mapsto\) exp (–x) est 2-similaire, la fonction sinus est 4-similaire. Comment trouver des fonctions réelles de variable réelle qui soient 3-similaires ?

Sur la lancée de l'exponentielle, cherchons de telles fonctions parmi celles qui à x associent e^zx, où z est une constante complexe (z = a + bi). Une telle fonction, de variable complexe cette fois, définie par f (x) = e^zx, a pour dérivée troisième f ⁽³⁾ (x) = z³e^zx, égale à f (x) si, et seulement si, z³ = 1, c'est-à-dire si z est une racine cubique de l'unité, soit 1, soit j, soit j². Nous tenons donc des fonctions complexes 3-similaires… mais nous cherchons des fonctions réelles ! Qu'à cela ne tienne : si f (x) = w (x) + i Ψ (x), dire que f ⁽³⁾(x) est égale à f (x) équivaut à dire que w (x) et Ψ (x) sont 3-similaires. On a gagné : on peut prendre par exemple

\( \phi(x)=e^{-\frac{x}{2}}\cos (\frac{\sqrt{3}}{2}x)\)

et

\( \psi(x)=e^{-\frac{x}{2}}\sin (\frac{\sqrt{3}}{2}x)\)