Le regretté Adrien Douady (1935–2006) est l'auteur d'une magnifique présentation des nombres complexes qui sera reprise dans le film Dimensions, aux chapitres 5 et 6. Le film, produit par Étienne Ghys, Aurélien Alvarez et Jos Leys (2008), est disponible en ligne.

Avec un tableau noir et une simple craie, une règle, une équerre et un rapporteur, Adrien Douady, au chapitre 5, fait vivre les nombres complexes sous nos yeux. Avec lui, un enfant comprendrait l'idée géniale d'Argand grâce à laquelle les points du plan sont devenus des nombres à part entière. Il verrait très bien qui est ce fameux nombre i dont le carré est égal à –1 et n'hésiterait pas à ajouter des points, à les multiplier comme on le fait avec des nombres. Il prendrait conscience que relier algèbre et géométrie est, comme le dit Adrien Douady, « l'une des plus belles idées des maths ». Il comprendrait pourquoi ces nombres, au fond pas si complexes que cela, ont envahi l'espace scientifique, permettant de donner une réalité à d'incroyables représentations comme la projection stéréographique ou à de féériques univers comme celui des fractales.

Il verrait aussi en grand comment, au chapitre 6, le plan complexe peut se transformer. Adrien Douady, en narrateur très pédagogue, lui expliquerait, en mettant en scène sa propre image, les transformations géométriques : l'homothétie, qui à z associe par exemple z / 2, ne fait que réduire la taille des images. Le mathématicien poursuit avec celle qui à z associe iz, celle qui « fait tourner la photo », puis passe à (1 + i) z, puis à z², où « le passage au carré va dilater les choses », pour continuer par des transformations de plus en plus élaborées, mais annoncées et détaillées progressivement pour arriver jusqu'à l'exponentielle complexe.

Des fractales et un lapin

Le lapin de Douady.

Le film Dimensions est aussi l'occasion d'évoquer un thème mathématique particulièrement populaire et qui tenait le plus au cœur d'Adrien Douady, les fractales : ensembles de Julia, de Mandelbrot, et le célèbre « lapin » dont il a tiré un film, la Dynamique du lapin (François Tisseyre et Dan Sorensen, 1996). « Étudier des phénomènes compliqués dans leur incarnation la plus simple possible, c'est souvent ça le rôle du mathématicien » ajoute-t-il une dernière fois. À voir ces merveilleuses images sur fond de musique classique, nous en sommes maintenant persuadés.