Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) photographié par Charles Reutlinger
Albert Girard (1595–1632), mathématicien d'origine lorraine exilé aux Pays-Bas, dénomme « solutions impossibles » les racines complexes d'équations polynomiales. Dans son ouvrage Géométrie, publié en 1637, Descartes utilise, le premier, le terme « imaginaire ». En utilisant ces adjectifs, les deux savants n'ont aucunement souci de définir un concept mais utilisent un mot du langage courant pour dénommer une sorte d'artifice qui, en introduisant une quantité qui n'existe pas, permet d'obtenir un résultat intéressant.
Il faut attendre Leonhard Euler pour voir naître un souci de définition. Ceci prouve que, pour lui, il s'agit d'un concept mathématique à part entière. Dans son article Recherches sur les racines imaginaires des équations, il nomme « quantité imaginaire celle qui n'est ni plus grande que zéro, ni plus petite que zéro, ni plus égale à zéro ; ce sera quelque chose d'impossible comme √–1, ou en général a + b √–1 ».
L'introduction de la représentation des complexes par un plan amène de nouveaux termes. Jean-Robert Argand utilise en 1806 le mot « module », du latin modulus, qui signifie « mesure ». Il correspond en effet à la longueur du vecteur associé à un nombre complexe. Le terme « argument » apparaît à l'initiative de Cauchy.
Gauss introduit le terme « nombre complexe » tout simplement parce qu'un tel nombre se compose de deux éléments, que l'on nomme désormais partie réelle et partie imaginaire. Cette dénomination leur donne le statut de nombre et les fait entrer dans la réalité ce que Cauchy nomme encore « expression imaginaire ».
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