Les défis de la persistance additive
Si vous avez encore un souvenir de la preuve par 9 dans vos jeunes années, vous avez sans doute déjà calculé une persistance additive sans le savoir. Le jeu est simple : prenez un nombre entier n, additionnez ses chiffres, puis recommencez jusqu’à obtenir un nombre à un seul chiffre. Le nombre d’étapes pour y arriver est la persistance additive de n. Par exemple, avec 199, on obtient l’enchaînement suivant :
Si vous écrivez cent quatre-vingt-dix-neuf fois le chiffre 1, vous obtiendrez un nombre dont la persistance additive vaut 4. En répétant cette astuce, vous obtiendrez un nombre dont la persistance additive est arbitrairement grande. Une question de minimisation surgit alors : quel est le plus petit nombre de persistance additive donnée ? Pour des persistances de 1, 2 et 3, les valeurs sont 10, 19 et 199. En remarquant que 199 = 1 + 22 × 9, on établit que la persistance additive de 19 999 999 999 999 999 999 999 est égale à 4, et c’est le plus petit nombre vérifiant cela. On vous laisse le soin de trouver le plus petit entier de persistance additive égale à 5 !
L’énigme de la persistance multiplicative
Prenez un entier n et faites le produit de tous ses chiffres. Recommencez jusqu’à obtenir un nombre à un seul chiffre et comptez en combien d’étapes vous êtes arrivés à ce résultat. Vous venez alors de déterminer la persistance multiplicative de l’entier n. Ainsi, 77 donne 49, qui produit 36, qui conduit à 18, puis à 8. La persistance multiplicative de 77 vaut 4 ; c’est la plus grande persistance multiplicative pour un entier inférieur à 100.
Quelle est la plus grande persistance multiplicative que l’on puisse obtenir ? La question semble anodine, et pourtant personne n’en connaît la réponse ! Le plus petit entier de persistance égale à 11 est 277 777 788 888 899. Pour l’instant, c’est le record (trouvé par ordinateur), et Neil Sloane a conjecturé qu’il n’est pas possible de faire mieux que 11. Saurez-vous faire mieux ?
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