Une construction avant-gardiste

Bien avant la naissance de Benoît Mandelbrot, Georg Cantor décrit en 1883 le premier ensemble fractal, vingt ans environ avant que von Koch introduise son fameux flocon. Sa construction est typique des fractals, même si le résultat esthétique est quasi nul, cet ensemble étant linéaire. On part du segment C₀ = [0, 1]. On lui retire l'intervalle ouvert médian, de longueur le tiers de celle de C₀, soit ]1/3, 2/3[. On obtient C₁ = [0, 1/3] \( \cup\)  [2/3, 1]. On recommence sur chacun des deux segments constituant C₁. On obtient C₂, qui est réunion de quatre segments de longueur 1/9 : [0, 1/9], [2/9, 3/9], [6/9, 7/9] et [8/9, 9/9]. On continue ainsi pour obtenir C_n, qui est la réunion de 2ⁿ segments disjoints de longueur 1/3ⁿ, dont la longueur totale l_n est (2/3)ⁿ. L'ensemble triadique de Cantor C s'obtient à la limite, comme intersection de tous les C_n. On l'appelle aussi poussière de Cantor à cause de son aspect.

La longueur de C_n tend vers 0 : à la limite, la longueur de C est nulle. De même, C ne peut contenir aucun intervalle ouvert, aussi petit soit-il : il est d'intérieur vide. Enfin, une suite convergente d'éléments de C a sa limite dans C : l'ensemble triadique de Cantor est fermé.

Un lien avec l'écriture ternaire

L'ensemble de Cantor a la puissance du continu. Pour s'en convaincre, caractérisons l'écriture ternaire de ses éléments. De quoi s'agit-il ? Usuellement, on utilise l'écriture décimale des nombres : les nombres de [0, 1[ s'écrivent de façon unique a₁ 10^–1 + a₂ 10^–2 + a₃ 10^–3 + … où les a_i sont des chiffres du système décimal, non tous égaux à 9 à partir d'un certain rang (pour garantir l'unicité de l'écriture). On note ce nombre 0,a₁a₂a₃…

On peut de même écrire tout nombre réel dans n'importe quelle base, en particulier en binaire et en ternaire. En ternaire, cela donne a₁ 3^–1 + a₂ 3^–2 + a₃ 3^–3 + … où les chiffres a_i sont égaux à 0, 1 ou 2. Les nombres de [0, 1/3] correspondent à a₁ = 0, et les autres a_i quelconques, sans restriction. Ainsi, 0 correspond à tous les a_i nuls, et 1/3 à tous les a_i égaux à 2. Les nombres de [2/3, 1] correspondent à a₁=2, et les autres chiffres quelconques, sans restriction. Les nombres de C₁ correspondent donc à a₁≠1 et les autres chiffres quelconques. La division par trois implique que les nombres de C₂ correspondent à a₁≠1, a₂≠1, et les autres chiffres quelconques. Il en est de même pour tous les C_n et, à la limite, les nombres de C correspondent aux développements ternaires ne contenant pas le chiffre 1.

Dès lors, il est possible d'appliquer le raisonnement de la diagonale de Cantor à C pour montrer qu'il est impossible de les numéroter tous ! Pour cela, supposons que c'est possible et fabriquons un nombre de C qui ne peut appartenir à la liste donnée.

Les nombres de C (appelés cantoriens sur le schéma) sont écrits dans l'ordre de leur numérotation supposée, dont l'existence correspond à l'hypothèse de dénombrabilité, l'un en dessous de l'autre. Conservons la diagonale, ici 002… On obtient une nouvelle suite de chiffres en remplaçant les 0 par des 2 et vice-versa. Où ce nouveau nombre est-il rangé ? Nulle part ! Ce raisonnement assure que C n'est pas dénombrable.
 

La dimension fractale de l'ensemble triadique

La dimension la plus utilisée pour mesurer les fractales est celle introduite par Felix Hausdorff en 1918. Comme sa définition est très technique, on la simplifie souvent tout en en gardant l'esprit. L'idée est de partir d'un domaine borné A du plan et de compter le nombre minimal N(r) de disques de rayons r > 0 nécessaires pour le recouvrir. En général, il existe un nombre d tel que \( N (r)r^{\delta}\) tend vers 0 quand r tend vers 0 si  \( \delta\) > d et vers l'infini si \( \delta\) < d. Ce nombre d est la dimension de Hausdorff de la partie A. Dans le cas de l'ensemble triadique, on trouve ln 2 / ln 3 comme dimension : il s'agit donc d'un ensemble fractal.