Diviser des polynômes

Un problème classique pour qui étudie les fonctions est de rechercher les asymptotes non verticales d'une fraction rationnelle A / B, où A et B sont deux polynômes de degré respectivement d₁ et d₂. La division euclidienne de A par B donne naissance à un quotient Q (de degré égal à d₁ – d₂) et un reste R (de degré strictement inférieur à d₂) tels que A = BQ + R. On a donc :

Dans les cas où la différence d₁ – d₂ est égale à 0 ou à 1, le quotient Q peut se mettre sous la forme mx + p ; au surplus, le terme R / B tend alors vers 0 lorsque la variable x tend vers l'infini (aussi bien vers + 3 que vers – 3). Ainsi, lorsque la variable x devient très grande en valeur absolue, A / B se comporte approximativement comme la fonction qui à x associe mx + p. La droite d'équation y = mx + p est une asymptote à la fraction rationnelle A / B. Cette droite est horizontale quand m = 0 (donc lorsque d₁ = d₂) ; elle est oblique quand m est non nul (ce qui a lieu lorsque d₁ = d₂ + 1).

Recherchons ainsi les asymptotes de la fonction f définie par (2x³ – 3x² + x – 1) / (x² + 1). Il n'existe aucune asymptote verticale car le dénominateur ne s'annule jamais, ni aucune asymptote horizontale puisque les degrés du numérateur et du dénominateur ne coïncident pas. Par contre, il existe bien une asymptote oblique :
f (x) = 2x – 3 + (2 – x) / (x² + 1). La droite d'équation y = 2x – 3 est asymptote.

Développement de MacLaurin par division

Un développement de MacLaurin pour une fonction f donne, au voisinage de l'origine, une approximation de f au moyen d'un polynôme de degré égal à l'ordre du développement. En conséquence, il est possible d'obtenir un développement d'ordre n pour un quotient f / g dans un intervalle où les deux fonctions f et g sont développables et où g ne s'annule pas. À cet effet, il suffit de diviser les deux développements d'ordre n de f et de g, en procédant de la même manière que pour une division euclidienne, à ceci près que les deux polynômes en question doivent être ordonnés selon les puissances croissantes (et non plus décroissantes comme dans le cas classique) : tout se passe en effet comme si les polynômes approchant f et g sont de degré « potentiellement infini » ; au surplus, les restes des développements de f et de g peuvent être omis dans les calculs, pourvu qu'un reste (du type ) soit ajouté au quotient trouvé.

Ainsi, le développement de MacLaurin d'ordre 5 de la fonction tangente est :

  \( \tan x =\frac{\sin x }{\cos x }=\frac{x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\ldots }{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\ldots }=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\alpha x^6\)

Le domaine de validité du développement est l'intervalle ]–π / 2, π / 2[, qui contient 0 et dans lequel le cosinus ne s'annule pas.

Différentiation et intégration

Pour dériver ou intégrer une fraction rationnelle A / B, il est souvent judicieux d'effectuer une division euclidienne de A par B lorsque le degré de A est supérieur ou égal à celui de B. On obtient \( \frac{A}{B}=Q+\frac{R}{B},\) et on décompose alors R / B en éléments simples. Voyons le cas de

\( f(x)=\frac{x^4+x^3-2x^2-x-1 }{x^2-1}.\)

  On pourrait évidemment dériver f en exploitant la formule classique donnant la dérivée d'un quotient. Mais il est plus simple de recourir à la décomposition suivante :

Le dernier membre est particulièrement commode à dériver, même plusieurs fois ! Le calcul d'une primitive de f est également facilité par cette décomposition.