Notre calendrier est rythmé par des semaines de sept jours.
Aussi a-t-on parfois besoin de calculer des restes modulo 7...
Le calendrier universel
Voici une méthode pour déterminer le jour de la semaine d'une date donnée avec pour exemple le 28 septembre 1958. Tous les calculs se font « modulo 7 », c'est-à-dire en gardant uniquement le reste de la division par 7.
• Prendre le quantième du mois, soit ici 28. On a 28 = 4 \( \times\) 7, et on garde 0.
• Prendre le nombre associé à septembre, soit 5 (voir le tableau correspondant).
• Prendre les deux derniers chiffres du millésime ; ici, 58 = 8 \( \times\) 7 + 2 et on garde 2.
• Prendre son quart par défaut ; ici 58 / 4 = 14,5, et 14 = 2 \( \times\) 7, donc on garde 0.
Attention, si la date est en janvier ou février d'une année bissextile, il faut prendre l'année bissextile précédente, donc quatre ans plus tôt !
• Prendre le nombre associé au XXe siècle, soit 0.
On additionne enfin 0 + 5 + 2 + 0 + 0 = 7 (donc 0). Ceci correspond à dimanche. Un résultat égal à 1 correspond au lundi, à 2 au mardi…
Les férus d'histoire auront reconnu dans le 28 septembre 1958 la date du référendum sur la constitution de la Ve République et, en France, on vote le dimanche.
Encore un exemple ? La bataille de Waterloo s'est déroulée le 18 juin 1815. Quel était le jour de la semaine ? Effectuons un petit calcul :
18 = 2 \( \times\) 7 + 4 (on garde 4), juin correspond à 4, 15 = 2 \( \times\) 7 + 1 (on garde 1), 15 / 4 = 3,75 (on garde 3), et le XIXe siècle correspond à 2, donc 4 + 4 + 1 + 3 + 2 = 14, soit 7 (ou 0) : c'était également un dimanche.
Apprendre à calculer modulo 7
Imaginons les jours numérotés sans références aux mois et aux années. Savoir quel est le jour de la semaine serait alors élémentaire : il suffirait de trouver de trouver le reste de la division par 7 du numéro du jour.
Ce qui complique tout, c'est que nous donnons les dates avec des mois et des années. L'année comptant 365 = 52 \( \times\) 7 + 1, le calendrier se décale d'un jour chaque année non bissextile et de deux les années bissextiles. Il suffit de donner le millésime, ou son reste par la division par 7, et de lui ajouter le quart du millésime de l'année bissextile précédant la date étudiée. Chaque mois, le calendrier se décale du nombre de jours dépassant vingt-huit jours (car 28 est divisible par 4). Ainsi, si le 1er janvier est un lundi, le 1er février est un jeudi et, les années non bissextiles, le 1er mars est encore un jeudi car février compte vingt-huit jours, et le 1er avril un dimanche car mars possède 31 = 4 \( \times\) 7 + 3 jours. Le calendrier d'avril est donc décalé de six jours par rapport à janvier. On attribue donc à chaque mois un nombre qui correspond au nombre de jours de décalage du mois concerné avec celui de janvier d'une année non bissextile. Cela donne :
Par ailleurs, un siècle comportant vingt-quatre années bissextiles s'il n'est pas divisible par 4 ou vingt-cinq sinon (comme le XXe siècle), le décalage est de 124 jours (ou 125). Or, 126 = 18 \( \times\) 7 est divisible par 7, donc les siècles se décalent de deux jours en sens inverse, et d'un seul s'ils sont divisibles par 4. On doit alors attribuer à chaque siècle un numéro pour tenir compte de ce décalage.
Attention, le calendrier grégorien, que nous utilisons, a été mis en place le 15 octobre 1582. Auparavant, on utilisait le calendrier julien. Le principe est le même, seuls les numéros des siècles changent !
