Les problèmes de pavage, tout comme certaines grandes conjectures en arithmétique, ont ceci de délectable qu'ils sont compréhensibles par un enfant de 5 ans. En réalité, ils sont d'une difficulté inouïe !

L'énoncé du problème est simple : quels sont les polygones convexes qui pavent le plan ? C'est-à-dire que l'on considère des copies d'un polygone de base, sans creux ni trous, et que l'on essaie de les assembler sur le plan sans qu'elles ne se chevauchent ni ne laissent de trous. Les carreaux carrés de faïence qui ornent vos sols où vos murs répondent au problème. Pour les polygones réguliers (polygones dont tous les côtés font la même longueur et dont tous les angles font la même mesure), on sait depuis l'Antiquité et Aristote que seuls le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone régulier pavent le plan. Mais les carreaux de faïence ne sont pas tous carrés : il y a par exemple des rectangles.

Une tuile mathématique !

En fait, tous les triangles pavent le plan, ainsi que tous les quadrilatères. Karl Reinhardt a prouvé en 1918, dans sa thèse de doctorat de l'université de Francfort, que seules trois familles d'hexagones convexes pavent le plan. En outre, aucun polygone convexe à plus de six côtés ne peut paver le plan. Ne reste plus qu'à résoudre le cas du pentagone !

Puisque le pentagone régulier ne pave pas le plan, quels sont ces types de pentagones irréguliers convexes qui conviennent ? Karl Reinhardt en présente cinq types dans sa thèse. Richard Brandon Kershner, de l'université Johns-Hopkins, découvre trois types en 1968.

Le maître incontesté des mathématiques récréatives, Martin Gardner (voir Tangente 136), s'appuie sur l'article de Kershner pour publier sa rubrique de « Mathematical Games » du Scientific American de juillet 1975, Sur le pavage du plan avec des polygones convexes. Gardner était fasciné par les pavages : nombreuses sont les rubriques qu'il leur a consacrées. L'informaticien Richard James III, fidèle de la rubrique, se lance dans ses propres recherches et découvre un autre type de pentagone qu'il envoie à Gardner. La découverte est publiée dans la rubrique de décembre. La liste n'était donc pas complète !

Marjorie Rice, une femme au foyer, mère de cinq enfants et passionnée de jeux mathématiques, consulte comme à son habitude la rubrique de Gardner du Scientific American de ses fils. Alors que les préparatifs de Noël lui laissent peu de temps, elle réunit toutes les données qu'elle peut sur les neuf types de pentagones déjà trouvés. Elle invente une codification, très pertinente, lui permettant de synthétiser l'information utile. Elle trace des diagrammes sur le plan de travail de sa cuisine, qu'elle cache dès que quelqu'un entre. En février 1976, elle découvre un premier type inédit de pentagone pavant le plan ! Elle envoie sa découverte à Martin Gardner, qui la transmet à Kershner et à Doris Schattschneider. Celle-ci pense que le pentagone de Rice et deux autres qui s'en déduisent font partie d'une classe plus générale ; elle formule une conjecture. Deux semaines plus tard, Marjorie Rice lui écrit qu'elle a tort, preuve à l'appui. Schattschneider lui propose alors de rédiger un article pour Mathematics Magazine. En mars, elle reçoit un long document décrivant vingt-six pavages différents (plusieurs étaient nouveaux) issus de sept des types connus de pentagones. Deux semaines plus tard, Rice a vérifié ses diagrammes : c'est finalement trente-cinq pavages qu'elle présente. En octobre, Schattschneider reçoit une énorme enveloppe contenant une liste de cinquante-huit pavages. En novembre, Schattschneider envoie à Rice une étude de Branko Grünbaum et Geoffrey Carroll Shepard, deux experts du pavage. Début décembre, Rice répond, enthousiaste, que les concepts de cet article lui ouvrent de nouveaux horizons. Le 27 décembre, elle a découvert deux nouveaux types de pentagones, portant à douze le nombre de types différents. En décembre 1977, après avoir reçu un nouvel article de Grünbaum et Shepard, Marjorie Rice découvre le treizième type ; sa découverte sera publiée en janvier 1978 dans Mathematics Magazine. Elle continuera à travailler sur le sujet pour essayer de prouver que sa liste est complète, sans succès. Aujourd'hui, cette amatrice nonagénaire de récréations mathématiques vit chez sa fille.

Fin de l'histoire ?

En 1985, Rolf Stein, un étudiant de l'université de Dortmund (Allemagne), découvre un quatorzième type. Et depuis, plus rien ! La liste était-elle complète et définitive ?

Non : une équipe de trois mathématiciens de l'université de Washington Bothell, Casey Mann, son épouse Jennifer McLoud et David Von Derau (étudiant en licence), viennent de découvrir un quinzième type à l'aide d'un code informatique. Leur programme vérifie un certain nombre de conditions que doivent vérifier le pavé de base, ces conditions sont en nombre fini. L'équipe, emmenée par Casey Mann, s'est montrée très surprise de cette découverte.

Cette fois-ci, la liste est-elle complète ? Si vous pensez que non, armez-vous de patience et d'astuce : si d'autres types de pentagones paveurs existent, ils ne seront pas faciles à débusquer !