Poincaré offre à nouveau dans ce livre paru trois ans après le précédent la vision d’un savant capable de contempler la nature. Il y poursuit et précise ses réflexions sur la science. Il maintient que « la science de la démonstration n’est pas la science tout entière » .
L’intuition est complémentaire de la logique. La logique, qui peut seule donne r la certitude, est l’instrument de la démonstration ; l’ intuition est l’instrument de l’invention.
Le mathématicien et philosophe soutient ensuite que la seule réalité objective n’est pas la nature des choses, mais « les rapports des choses d’ où résulte l’harmonie universelle ». Ces rapports sont objectifs car ils « sont, deviendront ou resteront communs à tous les êtres pensants ». Et il apporte sa réponse à une question qui n’a pas fini d’être posée : « À quoi servent les maths ? »
À noter enfin, cette réflexion de sagesse peu t- être utopique ou naïve (que penserait-il de l’industrie qui s’est bâtie autour des nouvelles technologies ?) : le progrès technique nous libérerait de contraintes matérielles et nous permettrait de consacrer plus de temps à l’art, à la contemplation de la nature, et à la science. Henri Poincaré, en tout cas, y a grandement contribué.
